coucou. j'ai besoin d'aide pour mon devoir de math s'il vous plaît Étudier la variation de cette suite.​

Réponse : Bonsoir,

On calcule d'abord les premiers termes de la suite:

[tex]u_{1}=\frac{u_{0}}{2-u_{0}}=\frac{\frac{3}{4}}{2-\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{8}{4}-\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{4} \times \frac{4}{5}=\frac{3}{5}\\u_{2}=\frac{u_{1}}{2-u_{1}}=\frac{\frac{3}{5}}{2-\frac{3}{5}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{10}{5}-\frac{3}{5}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{3}{5} \times \frac{5}{7}=\frac{3}{7}\\u_{3}=\frac{\frac{3}{7}}{2-\frac{3}{7}}=\frac{\frac{3}{7}}{\frac{14}{7}-\frac{3}{7}}=\frac{\frac{3}{7}}{\frac{11}{7}}[/tex].

(suite)

[tex]u_{3}=\frac{3}{7} \times \frac{7}{11}=\frac{3}{11}[/tex].

On peut conjecturer que la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante.

Montrons par récurrence que la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante, que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n+1}<u_{n}[/tex].

Initialisation: n=0, [tex]u_{0}>u_{1}[/tex], donc c'est vrai à l'ordre n=0.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, donc que [tex]u_{n+1}<u_{n}[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, donc que [tex]u_{n+2}<u_{n+1}[/tex].

On remarque que [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex], avec [tex]f(x)=\frac{x}{2-x}[/tex].

Étudions les variations de [tex]f(x)[/tex]:

[tex]f'(x)=\frac{1(2-x)-(-1(x))}{(2-x)^{2}}=\frac{2-x+x}{(2-x)^{2}}=\frac{2}{(2-x)^{2}}[/tex].

Donc [tex]f'(x) \geq 0[/tex], pour tout [tex]x \in ]-\infty;2[\cup ]2;+\infty[[/tex].

Donc [tex]f[/tex] est croissante.

D'après l'hypothèse de récurrence:

[tex]u_{n+1}< u_{n}\\f(u_{n+1}) < f(u_{n}) \quad car \; f \; est \; croissante\\u_{n+2} < u_{n+1}[/tex].

La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout entier naturel [tex]n[/tex], [tex]u_{n+1} < u_{n}[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante.