Bonsoir, pourriez-vous m’aider à faire cette exercice. Merci d’avance !

Réponse :

1) x peut varier entre 8 et +oo x appartient à ]8;+oo[

2a) les triangles OIS et ONM sont en position de Thalès donc

OI/ON=IS/NM et on en déduis que IS=6x/(x-8)

2b) volume de la pyramide  en fonction de x

V(x)=(1/3) x²*6x/(x-8)=2x³/(x-8)

Jusque là c'est du niveau de 3ème.

3) etude de f(x)=x³/(x-8) sur ]8;20]

Dérivée f(x) est de la forme u/v donc f'(x)=(u'v-v'u)/v² avec

u=x³ donc u'=3x²   et v=x-8  donc v'=1

f'(x)=[3x²(x-8)-x³]/(x-8)²=(2x³-24x²)/(x-8)²=2x²(x-12)/(x-8)²

f'(x) =0 pour x=0 et x=12

tableau de signes et de variations

x       8                                   12                              20

f'(x)...........-............................0............+...................

f(x) +oo......décroi...........f(12)............croi................f(20)

4) Déduis en pour quelle valeur de x f(x) est minimale puis calcule V(de cette valeur)=

Explications étape par étape