Bonsoir est-ce-que quelqu'un pourrai m'aider a faire cette exercice s'il vous plaît. merci Exercice 3 1 On considère la fonction f définie sur 10:+[ par: f(x)=a

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

1)

f(1)=1 car A(1;1) sur Cf.

f '(1) est le coeff directeur de la tgte en A qui passe par A(1;1) et le point (0;-1)

donc le coeff directeur est :

f ' (1)=(-1-1)/(0-1)=2

2)

a)

f(x)=a +b(lnx)/x

lnx/x est de la forme u/v avec :

u=lnx donc u '=1/x

v=x donc v '=1

(lnx/x) ' = (u'v-uv')/v²=(1/x * x - lnx)/x²=(1-lnx)/x²

Donc f '(x) = b(1-lnx)/x²

b)

f(1)=1 donne :

a+b*ln1/1=1 mais ln1=0 donc : a=1

f '(1)=2 donne :

b(1-ln1)/1²=2

b=2

Donc f(x)=1 + 2*lnx/x

3)

a)

Donc d'après 2)a) :

f '(x)=2*(1-lnx)/x²

Le déno est > 0, de même que le facteur "2"  

donc f '(x) est du signe de (1-lnx) .

1-lnx > 0

lnx < 1

x < exp(1) ou x < e

x-------------->0...........................e.........................+inf

f ' (x)---------->................+............0........-..............

f(x)------------>.................C..........f(e)......D................

C=flèche qui monte

D=flèche qui descend.

b)

Il faut calculer la dérivée seconde.

f '(x)=2(1-lnx)/x²

(1-lnx)/x est de la forme u/v avec :

u=1-lnx donc u'=-1/x

v=x² donc v'=2x

f " (x)=2[(-1/x)x²-2x(1-lnx)] / x^4

f "(x)=2(-x-2x+2x*lnx) / x^4

f " (x)=(-3x+2x*lnx) / x^4

f " (x)=x(2lnx-3) /  x^4

f "(x)=(2lnx - 3) / x³

Sur ]0;+inf[ , le déno est > 0 donc f " (x) est du signe de : 2lnx-3.

2lnx -3 > 0

lnx > 3/2

x > exp(3/2) ( soit x > 4.5 environ).

Donc f "(x) s'annule en changeant de signe pour x = exp(3/2) et :

f "(x) < 0 sur ]0;exp(3/2)]---->f(x) concave sur cet intervalle

f "(x) > 0 sur [exp(3/2);+inf[----->f(x) convexe sur cet intervalle.