Bonjour sachant que vn est la somme des termes de (Un ) de Uo à Un, je voudrais me rassurer que vn (en fonction de n ) = (1-3^n+1 ) / (1-3)

En exprimant d'abord le terme général de la suite [tex](u_n)_n[/tex] en fonction du seul n, nous trouvons le résultat suivant puisque la suite est évidemment géométrique de raison 3 et de terme initial 9 :

[tex]u_n=u_0\times 3^n=9\times 3^n=3^{n+2}[/tex]

Ensuite, nous regardons les effets de la sommation n fois pour en déduire une expression du terme général [tex]v_n[/tex] en fonction de n :

[tex]\displaystyle v_n=\sum_{k=0}^{n} u_k=\sum_{k=0}^{n} 3^{k+2}=9\sum_{k=0}^{n} 3^k[/tex]

Et enfin, cette dernière somme de puissances entières s'exprime de façon usuelle par le rapport de développement :

[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{n} 3^k=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}[/tex]

Soit enfin :

[tex]\displaystyle v_n=9\frac{3^{n+1}-1}{2}=\frac{9}{2}(3^{n+1}-1)[/tex]