Bonjour pouvez vous m’aidez sur cet exercice merci je suis bloquer

1. a) On a [tex]f'(x)=2x-4[/tex] pour tout nombre réel [tex]x[/tex].

Une tangente à [tex]C_f[/tex] au point d'abscisse [tex]x_0[/tex] a pour coefficient directeur [tex]f'(x_0)[/tex].

On veut donc que [tex]f'(x_0)=2x_0-4[/tex] soit égal à [tex]2[/tex], donc [tex]x_0=\dfrac{2+4}2=3[/tex].

Il n'existe donc qu'une seule tangente ayant pour coefficient directeur [tex]2[/tex], c'est celle au point d'abscisse [tex]3[/tex].

b) L'équation réduite de cette tangente est [tex]y=f'(3)(x-3)+f(3)[/tex], soit compte tenu du fait que [tex]f(3)=0[/tex], on trouve [tex]y=2(x-3)=2x-6[/tex].

2. On refait pareil qu'à la question précédente, on trouve que [tex]f'(x_0)=2x_0-4[/tex] doit être égal à [tex]a[/tex], soit [tex]x_0=\dfrac{a+4}2=2+\dfrac a2[/tex].

Il n'y a donc qu'une seule tangente à [tex]C_f[/tex] dont le coefficient directeur est [tex]a[/tex], c'est celle au point d'abscisse [tex]2+\dfrac a2[/tex].

Réponse : Bonjour,

1)a) Il faut montrer que l'équation f'(x)=2 n'a qu'une seule solution:

[tex]f'(x)=2x-4\\f'(x)=2 \Leftrightarrow 2x-4=2 \Leftrightarrow 2x=6 \Leftrightarrow x=3[/tex].

Donc f n'a qu'une seule tangente tel que son coefficient directeur est égal à 2, celle au point d'abscisse 3.

b) L'équation de cette tangente est:

[tex]y=f'(3)(x-3)+f(3)\\f'(3)=2 \times 3-4=6-4=2\\f(3)=3^{2}-4 \times 3+3=9-12+3=12-12=0\\y=2(x-3)+0=2x-6[/tex].

Une telle tangente a pour équation [tex]y=2x-6[/tex].

2) Il faut montrer que l'équation f'(x)=a, n'a qu'une seule solution pour tout [tex]a \in \mathbb{R}[/tex].

[tex]f'(x)=a\\2x-4=a\\2x=4+a\\x=\frac{4+a}{2}=2+\frac{1}{2}a[/tex].

Il n'y a qu'une seule solution, donc pour tout [tex]a \in \mathbb{R}[/tex], l'abscisse du point de Cf, telle que la tangente a pour coefficient directeur a, est [tex]x=2+\frac{1}{2}a[/tex].