Bonjour, On donne un côté AB et l'angle en A d'un triangle ABC. Entre quelles limites doit être compris le côté BC pour qu'on puisse construire le triangle ? *
Question
On donne un côté AB et l'angle en A d'un triangle ABC. Entre quelles limites doit être compris le côté BC pour qu'on puisse construire le triangle ?
* On vous demande de déterminer les conditions d'existence de ce triangle quelconque. On abaisse de B la perpendiculaire à AC et on étudie les différentes possibilités entre BC et BH.
Merci d'avance ;)
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
Soit [tex]H[/tex] le pied de la hauteur issue de [tex]B[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex], alors si [tex]H\neq C[/tex], [tex]BHC[/tex] est rectangle en [tex]H[/tex], donc [tex][BC][/tex], qui est son hypoténuse, est son plus grand côté, d'où [tex]BC > BH[/tex]. Sinon [tex]H=C[/tex] et dans ce cas [tex]BH=BC[/tex].
En revanche, [tex]BC[/tex] peut prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut (il suffit d'envoyer le point [tex]C[/tex] très loin).
La seule condition pour construire le triangle est donc [tex]BC\geqslant BH[/tex].
Or, dans le triangle rectangle [tex]ABH[/tex], on a [tex]BH = AB\sin\left(\widehat{BAC}\right)\;.[/tex]
Finalement, la seule condition pour construire le triangle est : [tex]BC\geqslant AB\sin\left(\widehat{ABC}\right)\;.[/tex]