Bonsoir tous le monde j'ai besoin de votre aide svp pour une question : Soit f une fonction définie sur IR + par : g (x) = [tex] \sqrt{x + 1} - 1 - \frac{x}{2

Réponse : la fonction g est strictement croissante sur R+ et g(x) ≥ 0 pour tout x ≥ 0

Explications étape par étape

[tex]g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1} }-\frac{1}{2}\\\\\\g'(x)=0 \Longleftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x+1} }-\frac{1}{2}=0\\\\\\\Longleftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x+1} }=\frac{1}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\sqrt{x+1}=1\\\\\\\ \Longleftrightarrow x+1=1 \\\\\\ \Longleftrightarrow x=0[/tex]

Par croissance de la fonction racine carré on obtient que :

g'(x) < 0 ⇔ x < 0

g'(x) > 0 ⇔ x > 0

Ainsi sur R+ la fonction g' est toujours positive, par conséquent la fonction g est strictement croissante  (= monotonie).

Du fait que g est strictement croissante sur R+ elle atteint donc son minimum en x = 0 valant g(0)=0

D'où g(x) ≥ 0 pour tout x ≥ 0