Bonjour, j'ai un problème de maths que je ne comprends pas, pourriez vous m'aidez a le résoudre s'il vous plait. Voici l'énoncé: On considère un triangle ABC re

Réponse :

1) a) A quel intervalle appartient x

           x ∈[0 ; 8]

  b) exprimer la longueur MN² en fonction de x

     AMN est un triangle rectangle en A ⇒ application du théorème de Pythagore

        MN² = AN² + AM²

                = x²  + (6 - x)²

                = x² + 36 - 12 x + x²

                = 2 x² - 12 x + 36

MN² = 2 x² - 12 x + 36  ⇔ f(x) = 2 x² - 12 x + 36

   c) montrer que f(x) = 2(x-3)² + 18

la forme canonique de f(x) s'écrit : f(x) = a(x - α)² + β

a = 2

α = - b/2a = 12/4 = 3

β = f(α) = f(3) = 2(3)² - 12*3 +36

                     = 18 - 36 + 36 = 18

Donc f(x)  s'écrit sous la forme canonique suivante : f(x) = 2(x-3)²+ 18

d) démontrer que 18 est l'extremum de cette fonction, préciser minimum  ou maximum

la forme canonique de f(x) = a(x - α)²+β

donc α et β correspondent aux coordonnées du sommet de la parbole

S(α ; β) = S(3 ; 18)

on a déjà trouvé  β = f(α) = f(3) = 18  (voir ci-dessus)

β = 18 est le minimum de la fonction f

2) Dresser le tableau de variation de f en le justifiant et en déduire la valeur minimale que peut prendre MN

en utilisant la forme canonique de f(x) = 2(x - 3)² + 18 , on peut dresser le tableau de variation de f

x     0                             3                              8

f(x)  36 →→→→→→→→→→→→ 18 →→→→→→→→→→→→ 68

              décroissante           croissante

et en déduire la valeur minimale que peut prendre MN

MN² (mini) = 18 ⇒ MN(mini) = √18 = 3√2  m  

Explications étape par étape