S'il vous plaît pouvez vous m'aider ? Il n'existe pas de nombre décimal dont le carré est égal à 2.L'algorithme de Héron permet néanmoins d'en calculer une vale

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Explications étape par étape

Bonjour

Il n'existe pas de nombre décimal dont le carré est égal à 2.L'algorithme de Héron permet néanmoins d'en calculer une valeur approchée.

a.Effectuer les calculs successifs suivants avec A=2 en donnant les résultats sous forme de fractions simplifiées:

B=\frac{1}{2} *(A+\frac{2}{A} )

B = 1/2 (2 + 2/2)

B = 1/2 (2 + 1)

B = 3/2

C=\frac{1}{2} *(B+\frac{2}{B})\\[tex]

C = 1/2(3/2 + 2/(3/2))

C = 1/2(3/2 + 2 x 2/3)

C = 1/2(3/2 + 4/3)

C = 1/2(9/6 + 8/6)

C = 1/2 x 17/6

C = 17/12

D=\frac{1}{2} *(C+\frac{2}{C})

D = 1/2 (17/12 + 2/(17/12))

D = 1/2 (17/12 + 2 x 12/17)

D = 1/2 (17/12 + 24/17)

D = 1/2 (289/204 + 288/204)

D = 1/2 * 577/204

D = 577/408

b. A l'aide d'une calculatrice, donner une valeur approchée à 0.000001 près de E=\frac{1}{2} *(D+\frac{2}{D}).

E = 1/2 (577/408 + 2/(577/408))

E ~ 1,414214

Vérifier alors que E² est une valeur proche de 2.

E² ~ 2,000001

Réponse :

Bonsoir,

[tex]A=\dfrac{2}{1} \\\\\\B=\dfrac{A+\dfrac{2}{A}}{2} \\\\=\dfrac{\dfrac{2}{1}+\dfrac{2}{\dfrac{2}{1}}}{2} \\\\=\dfrac{\dfrac{2}{1}+\dfrac{2}{2} } {2} \\\\=\dfrac{6}{4} \\\\=\dfrac{3}{2} \\\\\\C=\dfrac{B+\dfrac{2}{B}}{2} \\\\=\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{\dfrac{3}{2}}}{2} \\\\=\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}}{2} \\\\=\dfrac{\dfrac{9+8}{6}}{2} \\\\=\dfrac{17}{12} \\\\\\\\[/tex]

[tex]D=\dfrac{C+\dfrac{2}{C}}{2} \\\\=\dfrac{\dfrac{17}{12}+\dfrac{2}{\dfrac{17}{12}}}{2} \\\\=\dfrac{\dfrac{17}{12}+\dfrac{24}{17}}{2} \\\\=\dfrac{\dfrac{289+288}{204}} {2} \\\\=\dfrac{577}{408}\\[/tex]

La suite se trouve dans le fichier excel joint.

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