Bonjour, je suis actuellement en terminale S et j'ai un devoir maison sur les lois de probabilité. Ce chapitre la n'est pas celui où je suis le plus à l'aise j

Bonjour,

1) il faut vérifier 3 conditions :

. f est continue sur R : C'est la cas car f(0) = 0 et f(π) = 0

. f est positive : ⇒ m > 0 car sin(x) ≥ 0 sur [0;π]

. Somme de -∞ à +∞ de f(x)dx = 1

Soit somme de 0 à π de f(x)dx = 1  car pour x ∉ [0;π], f(x) = 0

⇒ -mcos(x)dx entre 0 et π = 1 = 1

⇔ (-mcos(π)) - (-mcos(0)) = 1

⇔ m + m = 1

⇔ m = 1/2

⇒ f(x) = 1/2 * sin(x) sur [0;π]

2) ...

3) La fonction de répartition d'une variable aléatoire X définie par une fonction de densité f est la primitive de f qui s'annule en -∞ :

F(x) = p(X ≤ x) = Somme de -∞ à x de f(x)dx

Soit ici: F(x) = Somme de 1/2 * sin(x)dx entre 0 et x  

(toujours car f(x) = 0 sauf sur [0;π])

= 1/2 * [1 - cos(x)]

voir ci-dessous

4) p(π/4 ≤ X ≤ 3π/4) = F(3π/4) - F(π/4)

= 1/2 * (1 + √2/2) - 1/2(1 - √2/2)

= √2/2

5) F(0) = 0 ⇒ p(X ≤ 0) = 0

et p(X ≥ 0) = 1 - p(X ≤ 0) = 1