Bonjour! J'ai un devoir a rendre pour le lendemain, ABCDEFGH est un cube d'arête a, et I, J, K sont les milieux de [AB], [BC] et [BF). Déterminer le volume de l

dans cet exercice on connaît le côté du cube : a . On peut donc calculer BI, BJ , BK puis IJ, IK et KJ en fonction de a

a)

BI = BJ = BK = a/2

b) IJ = IK = KJ ce sont les hypoténuses de triangles rectangles isocèles dont le côté de l'angle droit mesurent a/2

BIJ rectangle en B, isocèle  BI = BJ = a/2

IJ² = IB² + BJ² = 2(a/2)² = 2a²/4 = a²/2

IJ =  (a√2)/2.

si l'on veut calculer la hauteur issue de B de la pyramide BIJK  il faut connaître son volume. On doit donc trouver un moyen de le calculer.

1)

On considère que cette pyramide a pour base la triangle IBK et pour hauteur JB alors

V = 1/3 (aire IBK x JB)

V = 1/3[1/2(BIxBK)  x  JB]

V = 1/3 [1/2(a/2)²   x  a/2]

V = 1/3[a²/8   x   a/2] = 1/3  

V = 1/3 x(a³/16)

V = a³/48  

2)

Maintenant que l'on connaît le volume de la pyramide pour calculer la hauteur il faut aussi connaître l'aire de la base IJK

La base est un triangle équilatéral de côté a√2/2.  

L'aire d'un triangle équilatéral est : (√3/4) x (côté)²

Le triangle IJK a pour aire : (√3/4)(a√2/2)² = (√3/4)(2a²/4) = (a²√3)/8

hauteur :

V / aire base      h =  (a³/48) /  (a²√3)/8 =   (a√3) / 18