Bonsoir, pourriez-vous m'aider à résoudre ce problème s'il vous plaît ? [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] désignent deux nombres réels strictement positifs. On note

Réponse :

■ conclusion : n ≥ m .

■ remarque : m = n donne b = a .

Explications étape par étape :

■ bonjour Toulouse !

■ moyenne = 0,5(a+b) donc m = 2/(a+b)

■ inverses = 1/a et 1/b

■ moyenne des inverses :

  n = 0,5(1/a + 1/b) = 0,5(a+b)/(ab) .

■ comparaison :

   supposons m > n :

                             2ab > 0,5(a+b)²

                             4ab > (a+b)²

    a² + 2ab + b² - 4ab < 0

              a² - 2ab + b² < 0

                          (a-b)² < 0

    un carré négatif est impossible !

■ conclusion : n ≥ m .

■ remarque : m = n donne b = a .                          

1)

la moyenne de a et b est (a+b)/2

l'inverse de cette moyenne est 2/(a+b)

m = 2/(a+b)

2)

les inverses de a et b sont 1/a et 1/b

la moyenne de 1/a et 1/b est (1/a + 1/b)/2 = (a+b)/2ab

n = (a+b)/2ab

3) on forme la différence n - m

(a+b)/2ab  - 2/(a+b) =    [dénominateur commun  2ab(a+b) = D]

[(a+b)² - 2x2ab] / D = [(a+b)² - 4ab] / D = (a-b)²/ D

le dénominateur D est positif non nul  (a et b strictement positifs)

le quotient a le signe du numérateur

si a = b la différence est nulle =>  n = m

si a ≠ b alors (a-b)² est positif, la différence est positive =>   n > m

on peut faire un contrôle

par ex a = 2 et b = 4

moyenne 3   inverse 1/3   m = 1/3         1/3 = 8/24

1/2 + 1/4 = 3/4   moitié 3/8   n = 3/8       3/8 = 9/24

                                                                 9/24 > 8/24