Bonjour j’aurai besoin d’aide pour 1 exo

Bonjour,

Partie A

1) f(x) = ln(x) + 1 - 1/x

a) f'(x) = 1/x + 1/x² = (x + 1)/x² ⇒ f'(x) > 0 sur I = ]0 ; +∞[

⇒ f strictement croissante sur I

b)

lim f(x) quand x → 0⁺ = -∞

f(1) = 0                                            

et f croissante sur I

⇒ f(x) < 0 sur ]0 ; 1[

   f(1) = 0

et f(x) > 0 sur ]1 ; +∞[

2)

a) F(x) = (x- 1)ln(x)

⇒ F'(x) = ln(x) + (x - 1)/x = ln(x) + 1 - 1/x = f(x) ⇒ F primitive de f sur I

b) Sur [1 ; +∞{, f(x) ≥ 0 ⇔ F'(x) ≥ 0 ⇒ F croissante sur cet intervalle.

c) F(x) = 1 - 1/e > 0

F(1) = 0

lim F(x) quand x → +∞ = +∞

et F croissante sur [1 ; +∞[

⇒ il existe α ∈ [1 ; +∞{ / F(α) = 1 - 1/e

On trouve : 1,94 < α < 1,95

Partie B

1) h(x) = 0 ⇔ ln(x) = -1 ⇒ x = 1/e ⇒ A(1/e ; 0)

2)

h(x) = g(x)

⇔ ln(x) + 1 - 1/x = 0

⇔ f(x) = 0 ⇒ x = 1 ⇒ Ch∩Cg = P(1 ; 1)

3)

a) A = Intégrale de x = 1/e à x = 1 de (h(x) - g(x))dx

= Intégrale de x = 1/e à x = 1 de -f(x)dx     (car f ≤ 0 sur ]0 ; 1]

= -(F(1) - F(1/e))

= F(1/e) - F(1)

= (1/e - 1)ln(1/e) - 0

= 1 - 1/e  u.a.

4)a)

At = Int de 1 à t de (h(x) - g(x))dx

= In de 1 à t de f(x)dx

= F(t) - F(1)

= F(t)

= (t - 1)ln(t)

b) At = A

⇒ (t - 1)ln(t) = 1 - 1/e

⇒ t = α