Bonsoir pouvez-vous m’aider pour cette exercice merci

Réponse :

partie A: f(x)=2x²/(x-5)

1)Df=R-{5}

2)limites de f(x)

x tend vers-oo f(x) tend vers-oo et si x tend vers +oo f(x) tend vers +oo

si x tend vers 5 (avec x<5) f(x) tend vers -oo et x tend vers 5 (avec x>5) f(x) tend vers+oo

dérivée f'(x)=[4x(x-5)-2x²]/(x-5)²=(2x²-20x)/(x-5)²=2x(x-10)/(x-5)²

cette dérivée s'annule pour x=0 et x=10 et son signe dépend du signe de 2x²-20x

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    -oo               0                     5                      10                   +oo

f'(x)...........+.........0..........-..........................-................0.........+..............

f(x)-oo.....croi....f(0)..décroi...-ooII+oo..décr.......f(10).....croi.......+oo

f(0)=0  et f(10)=40

3) tangente (Delta) appllique la formule y=f'(15)(x-15)+f(15) remplace et calcule

4) Intersection de Cf avec (d) d'équation y=50 on note avec le tableau de variation de f(x) qu'il a deux points d'intersection sur l'intervalle ]5 ; +oo[.

il faut résoudre l'équation f(x)=50 soit f(x)-50=0

2x²/(x-5)-50=0 soit (2x²-50x+250)/(x-5)=0 un quotient est nul si son dividende est nul avec diviseur non nul donc si 2x²-50x+250=0

Résous cette équation du second degré  via delta  tu dois trouver deux solutions x1=(25-5V5)/2  et x2=(25+5V5)/2  de part et d'autre de x=10

5) Cf est au dessus de la droite  d'équation y=x si f(x)>x

soit f(x)-x>0 on remplace et on résout avec un tableau de signes

2x²/(x-5)-x=0  soit (2x²-x²+5x)/(x-5)=0

(x²+5x)/(x-5)=0 ou x(x+5)/(x-5)=0 solution x=0 et x=-5  

nota: pour le tableau de signes on intègre le signe du diviseur en tenant compte de la valeur interdite(+5)

x    -oo                  -5                        0                   +5                       +oo

x                 -           I           -              0        +           I         +

x+5              -         0          +               I        +           I          +

x-5             -           I            -               I         -          II          +

f(x)-x............-............0............+................0..........-...........II............+.............

Donc Cf au dessus de la droite y=x pour x appartenant à ]-5;0[U]5;+oo[  

Partie B

A(5;4) et M(a;0) déterminons l'équation de (AM) en fonction de a

elle est de la forme y=mx+p avec m=(yA-yM)/(xA-xM)=4/(5-a) ou -4/(a-5)

elle passe par A donc yA=[-4/(a-5)*xA]+p soit 4=[-4/(a-5)]*5+p

on en déduit que p=4+20/ (a-5)=4a/(a-5)

le point N a pour coordonnées (0;4a/(a-5))

le triangle OMN est rectangle en O

donc Aire OMN=OM*ON/2=2a²/(a-5)

On retrouve la fonction f(x) sur l'intervalle ]5;+oo[  cette fonction a un minimum pour x=10

Conclusion l'aire du triangle OMN est minimale pour a=10 et sa valeur est de 40u.a  (unités d'aire)

Explications étape par étape