Bonjour je ne comprend pas mon dm pouvez vous m'aidez svp? Merci​

Bonjour,

1) x = 3 cm

Les boites ont alors pour dimensions :

L = l = 30 - 2x3 = 24 cm

et h = 3 cm

Donc un volume de : L * l * h = 24 * 24 * 3 = 1728 cm³

2) x quelconque

L = l = (30 - 2x)

h = x

Donc : V = (30 - 2x)² * x

Soit V = (30² - 120x + 4x²)x = 4x³ - 120x² + 900x

3) f(x) = 4x³ - 120x² + 900x

f'(x) = 12x² - 240x + 900 = 12(x² - 20x + 75)

f'(x) = 0

Δ = (-20)² - 4*1*75 = 400 - 300 = 100 = 10²

Donc 2 racines :

x₁ = (20 - 10)/2 = 5

x₂ = (20 + 10)/2 = 15

On en déduit : f'(x) = 12(x - 5)(x - 15)

Puis les variations de f sur [0;15] :

x         0                5               15

x-5               -        0       +

x-15              -                 -

f'(x)               +       0       -

f(x)          croiss.         décroiss.

Donc f atteint un maximum pour x = 5 et vaut alors f(5) = 2000

4) Conclusion : Le volume est maximum pour x = 5 cm et vaudra 2000 cm³