Bonjour a tous pouvez-vous m'aidé a faire cet exercice s'il vous plait merci On dit qu'un nombre entier est riche s'il peut s'écrire comme différence des carrés
Question
On dit qu'un nombre entier est riche s'il peut s'écrire comme différence des carrés de deux entiers naturels. Par exemple, 27est riche car 27 =6 au carré -3 au carré .
1) Trouver trois exemples d'entiers riches supérieurs à 10 (justifier la réponse)
2) a. Décomposer 76 en produit de facteurs premiers.
b. En déduire le nombre de diviseurs positifs de 76.
c. Justifier que si 76 = a au carré - b au carré avec a et b deux entiers, alors a-b et a +b sont des diviseurs pairs de 76 .
d. Montrer que 76 est riche .
3) Montrer que tout nombre impair est riche
4) Montrer qu'un entier n pair est riche si et seulement si n comporte au moins deux fois le facteur 2 dans sa décomposition en facteurs premiers.
5) Donner la liste des entiers compris entre 0 et 50 qui ne sont pas riches.
1 Réponse
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1. Réponse trudelmichel
Réponse :
bonjour
Explications étape par étape
1)
11 = 6²-5²
13=7²-6²
15=8²-7²
2)a)
76=2*2*19
b)
diviseurs de 76
1;2,4,19,38,76
c)
76= 1*76
76=2*38
76=4*19
d)
a²-b²=(a+b)(a-b)
76=a²-b²
76=(a+b)(a-b)
2)
76=4*19
76=2(2*19)
76=2*38
76=(a+b)(a-b)
a+b=38
a-b=2 a=b+2
b+2+b=38
2b+2=38
2b=38-2
2b=36
b=18
a=20
20^2=400
18^2=324
400-324=76
76=20²-18²
3)
soit n un nombre
n=(n)(1)
a+b=n
a-b=1 a=b+1
b+1+b=n
2b+1=n
2b=n-1
b=(n-1)/2
si n impair
n-1 pair
(n-1)/2 existe dans les entiers
donc tout nombre impair est riche
4)
si n a 2 fois x2 dans sa décomposition
alors c'est un multiple de 4
soit n unmultiple de 4
n=4c
n=2( 2c)
a+b=2c
a-b=2 a=b+2
b+2+b=2c
2b+2=2c
2b=2c-2
2b=2(c-1)
b=[2(c-1)]/2
b= c-1
a= c+1
5) sont riches les nombres impairs et les multiples de 4
d'où
sont non riches
1,2,6,10,14;18;22;26;30;34;38;42;46;50