1. Existe-t-il un nombre a tel que P et H aient des tangentes parallèles en leurs points d'abscisse a ? 2. Trouvez une équation pour chaque tangente.

Bonsoir,

1) Si les tangentes aux deux courbes sont parallèles, alors leurs coefficients directeurs sont égaux.

f'(x) = 8x et g'(x) = -1/x²

Résolvons l'équation f'(x) = g'(x)

[tex]8x=-\dfrac{1}{x^2}\\\\8x^3=-1\\\\x^3=-\dfrac{1}{8}\\\\x=-\dfrac{1}{2}[/tex]

D'où les tangentes aux deux courbes en leurs points d'abscisses -1/2 sont parallèles.

2)
L'équation de la tangente à la courbe (P) au point d'abscisse -1/2 est de la forme :

y = f '(-1/2)(x + 1/2) + f(-1/2)

Or f(x) = 4x² ===> f(-1/2) = 4*(-1/2)² = 4*(1/4) = 1
f '(x) = 8x ===> f '(-1/2) = 8*(-1/2) = -4

Donc la tangente à la courbe (P) admet comme équation : 
y = -4(x + 1/2) + 1
y = -4x - 4*(1/2) + 1
y = -4x - 2 + 1
y = -4x - 1

L'équation de la tangente à la courbe (H) au point d'abscisse -1/2 est de la forme :

y = g '(-1/2)(x + 1/2) + g(-1/2)

Or g(x) = 1/x ===> g(-1/2) = 1/(-1/2) = -2
g '(x) = -1/x² ===> g '(-1/2) = -1/(1/4) = -4

Donc la tangente à la courbe (H) admet comme équation : 
y = -4(x + 1/2) - 2
y = -4x - 4*(1/2) - 2
y = -4x - 2 - 2 
y = -4x - 4