Bonsoir, Pourriez-vous m'aider à réaliser mon exercice ( Urgence) Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2x²+ 6x- 20 1° Vérifier que pour tout x ∈R f(x)=(2x-

Réponse :

soit f(x) = 2 x² + 6 x - 20  définie sur R

1) vérifier que pour tout x ∈R  f(x) = (2 x - 4)(x + 5)

  f(x) = 2 x² + 6 x - 20 = 0

      Δ = 36 + 160 = 196 ⇒ √196 = 14 ⇒ 02 solutions distinctes

x1 = - 6 + 14)/4 = 8/4 = 2

x2 = - 6 - 14)/4 = - 20/4 = - 5

f(x) peut s'écrire sous la forme factorisée  f(x) = a(x - x1)(x - x2)

f(x) = 2(x - 2)(x + 5)

     = (2 x - 4)(x + 5)

2) vérifier que pour tout x ∈ R   f(x) = 2( x +3/5)² - 49/2

f(x) = a(x - α)² + β  forme canonique

α = - b/2a = - 6/4 = - 3/2

β = f(- 3/2) = 2(-3/2)² + 6(-3/2) - 20

                 = 18/4 - 18/2 - 20

                 = 18/4 - 29 = 18/4 - 116/4 =  - 98/4 = - 49/2

f(x) = 2(x + 3/2)² - 49/2  et non f(x) = 2(x + 3/5)² - 49/2

3) choisi la forme adaptée pour:

a) calculer f(0) et f(-3/2)

f(0) = - 20  (forme développée utilisée)

f(-3/2) = - 49/2 (forme canonique utilisée)

b) résoudre  f(x) = 0

on utilise la forme factorisée de f(x)

f(x) = (2 x - 4)(x + 5) = 0   Produit de facteurs nul

⇒ 2 x - 4 = 0 ⇒ x = 4/2 = 2   OU  x + 5 = 0 ⇒ x = - 5

c) résoudre f(x) ≤ 0

     f(x) = (2 x - 4)(x+5) ≤ 0  ⇒ 2 x - 4  ≤ 0 ⇒ x ≤ 2  et x+ 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 5

L'ensemble des solutions est  S = [- 5  ; 2]

d) résoudre f(x) = - 20

on utilise la forme développée de f(x)

f(x) = 2 x² + 6 x - 20 = - 20 ⇔ 2 x² + 6 x = 0 ⇔ 2 x(x + 3) = 0

⇒ 2 x = 0 ⇒ x = 0  OU x +3 = 0 ⇒ x = - 3

4) dresser le tableau de variation de f en justifiant

pour dresser le tableau de variation on utilise la forme canonique de f(x)

f(x) = 2(x + 3/2)² - 49/2

x      - ∞                              - 3/2                              + ∞

f(x)   + ∞→→→→→→→→→→→→→ - 49/2 →→→→→→→→→→→ + ∞

              décroissante                    croissante

Explications étape par étape