Bonsoir pouvez-vous m’aider svp merci

Réponse : Bonjour,

1) [tex]x-\frac{1}{x}=\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x}[/tex].

2) La fonction racine carrée est définie sur [tex][0;+\infty[[/tex], donc pour que f soit définie, il faut que [tex]\frac{(x-1)(x+1)}{x} \geq 0[/tex], on effectue le tableau de signes:

x              -∞          -1             0             1            +∞

x-1                  -              -              -      Ф     +

x+1                 -       Ф     +             +             +

x                    -                -     Ф     +             +

((x-1)(x+1)/x)  -       Ф     +     ║     -      Ф    +

Donc [tex]\frac{(x-1)(x+1)}{x} \geq 0 \Leftrightarrow x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[[/tex].

Donc le domaine de définition de f est [tex][-1;0[ \cup [1;+\infty[[/tex].

3) On calcule la fonction dérivée de f:

[tex]f'(x)=\frac{(x-\frac{1}{x})'}{2\sqrt{x-\frac{1}{x}}}=\frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{2\sqrt{x-\frac{1}{x}}}[/tex].

Pour tout [tex]x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[, \quad 1+\frac{1}{x^{2}} >0[/tex], car un carré est toujours positif, puis [tex]2\sqrt{x-\frac{1}{x}} \geq 0[/tex], pour tout [tex] x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[ [/tex], car [tex]\sqrt{x} \geq 0[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], et à fortiori pour [tex]x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[[/tex].

Donc [tex]f'(x) \geq 0[/tex], pour tout [tex]x \in [-1;0[ \cup [1;+\infty[[/tex], donc f est croissante sur son domaine de définition.