Bonjour, NIVEAU SECONDE c'est une urgence svp , je poste pour la 3ème fois et personne ne m'aide !! je suis bloqué à la 1c) , il me demande de tracer sur geogeb

Réponse :

Question 1

Voir pièce jointe

Question 2a

Nous savons que

[tex](O,\vec{i},\vec{j})[/tex] est un rapport orthonormé,

F a pour coordonnées [tex](0;\frac{1}{4} )[/tex]

(OF) correspond à l'axe des ordonnées du repère [tex](O,\vec{i},\vec{j})[/tex]

H ∈ (D), droite d'équation [tex]y=\frac{-1}{4}[/tex]

Nous pouvons donc noter les coordonnées de H [tex](x_H ; \frac{-1}{4} )[/tex]

OFH est donc un triangle rectangle en O, dont l’hypoténuse est [FH].

La médiatrice de l’hypoténuse est sécante aux deux autres côtés d'un triangle rectangle. La médiatrice [tex]\Delta_2[/tex] de [FH] est donc sécante à (OF).

[tex]\Delta_1\ //\ (OF)[/tex]

Donc [tex]\Delta_1[/tex] et [tex]\Delta_2[/tex] sont sécantes.

Deux droites n'étant sécantes qu'en un seul point, le point d'intersection entre [tex]\Delta_1[/tex] et [tex]\Delta_2[/tex] est unique.

[tex]M \in \Delta_2[/tex] et [tex]M=\Delta_1 \cap\Delta_2[/tex]

M est donc unique et MH=MF

Question 2b

Le rapport étant orthogonal, nous pouvons utiliser la formule : [tex]MF^2=(x_{F}-x_{M})^2+(y_{F}-y_{M})^2[/tex]

F a pour coordonnées [tex](0;\frac{1}{4} )[/tex]

[tex]x_M[/tex] est noté [tex]x[/tex]

[tex]y_M[/tex] est noté [tex]f(x)[/tex]

Donc  [tex]MF^2=(0-x)^2+[\frac{1}{4}-f(x)]^2=x^2+[\frac{1}{4}-f(x)]^2[/tex]

De même [tex]MH^2=(x_{H}-x_{M})^2+(y_{H}-y_{M})^2[/tex]

Or [tex]x_H=x_M = x[/tex] et [tex]y_H = \frac{-1}{4}[/tex]

Donc [tex]MH^2=(x-x)^2+[\frac{-1}{4} -f(x)]^2=0+[\frac{-1}{4} -f(x)]^2=[\frac{1}{4} +f(x)]^2[/tex]

Question 2c

MF² = MH² ⇔ [tex]x^2+[\frac{1}{4}-f(x)]^2 = [\frac{1}{4} +f(x)]^2[/tex]

Donc [tex]x^2=[\frac{1}{4} +f(x)]^2-[\frac{1}{4}-f(x)]^2[/tex]

[tex]x^2[/tex] correspond donc à une différence de deux carrés. Nous pouvons donc utiliser l'identité remarquable A²-B² = (A-B)×(A+B) :

[tex]x^2=[(\frac{1}{4} +f(x))+ (\frac{1}{4}-f(x))]*[(\frac{1}{4} +f(x))- (\frac{1}{4}-f(x))][/tex]

[tex]x^2=[\frac{1}{4} +f(x)+ \frac{1}{4}-f(x)]*[\frac{1}{4} +f(x)- \frac{1}{4}+f(x)][/tex]

[tex]x^2=\frac{1}{2} *[2 *f(x)][/tex]

Donc [tex]f(x)=x^2[/tex]

La courbe constituée de l'ensemble des points M du plan vérifiant MH = MF a donc pour équation [tex]y=x^2[/tex]