Bonjour je ne comprend pas mon dm de maths. Pourriez vous m'aidez ? Voici l'énoncé : U et V sont les suites définies sur l'ensemble des entiers naturels par: Un
Question
Voici l'énoncé :
U et V sont les suites définies sur l'ensemble des entiers naturels par:
Un = 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/n+n
Vn = Un + 1/2n
1)a) Vérifier que U1 = 1/2 et U2 = 7/12
b) Calculer U3, V1, V2 et V3
2) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n ≥ 1 ,
Un+1 - Un = 1/(2n+1)(2n+2)
--> là je ne sais pas trop comment m'y prendre
Merci d'avance
1 Réponse
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1. Réponse aymanemaysae
Bonjour;
1.
a.
U1 = 1/(1 + 1) = 1/2 .
U2 = 1/(2 + 1) + 1/(2 + 2) = 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 .
b.
U3 = 1/(3 + 1) + 1/(3 + 2) + 1/(3 + 3) = 1/4 + 1/5 + 1/6
= 15/60 + 12/60 + 10/60 = 37/60 .
V1 = U1 + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 .
V2 = U2 + 1/4 = 7/12 + 1/4 = 7/12 + 3/12 = 10/12 = 5/6 .
V3 = U3 + 1/6 = 37/60 + 10/60 = 47/60 .
2.
On a : Un = 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(n + n - 2) + 1/(n + n - 1) + 1/(n + n)
= 1/(n+1) + 1/((n+1)+1) + .... + 1/((n+1)+n-3) + 1/((n+1)+n-2) + 1/((n+1)+n-1)
= 2/(2n+2) + 1/((n+1)+1) + .... + 1/((n+1)+n-3) + 1/((n+1)+n-2) + 1/((n+1)+n-1) .
On a aussi : 1/((n+1)+1) + .... + 1/((n+1)+n-3) + 1/((n+1)+n-2) + 1/((n+1)+n-1)
= U(n + 1) - 1/((n+1)+n) - 1/((n+1)+(n+1))
= U(n + 1) - 1/(2n + 1) - 1/(2n + 2) .
Donc on a :
Un = 2/(2n+2) + U(n+1) - 1/(2n +1) - 1/(2n + 2)
= U(n + 1) + 1/(2n + 2) - 1/(2n + 1)
= U(n+1) + (2n+1-2n-2)/((2n+1)(2n+2))
= U(n+1) - 1/((2n+1)(2n+2)) ;
donc : U(n+1) - Un = 1/((2n+1)(2n+2)) .