Bonjour j’ai besoin d’aide pour l’exo 4 et Lexo 5je donne 20 pts merci d’avance

Bonjour ;

Exercice n° 5 .

1.

Le dénominateur de l'expression algébrique de f est : (x² - 1)² .

(x² - 1)² = 0 ;

donc : x² - 1 = 0 ;

donc : (x - 1)(x + 1) = 0 ;

donc : x - 1 = 0 ou x + 1 = 0 ;

donc : x = 1 ou x = - 1 ;

donc : Df = ] - ∞ ; - 1 [ ∪ ] - 1 ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞ [ .

2.

b/(x + 1)² + a/(x - 1)² = b/(x² + 2x + 1) + a/(x² - 2x + 1)

= (bx² - 2bx + b + ax² + 2ax + a)/((x + 1)(x - 1))

= ((a + b)x² - 2(b - a)x + (a + b))/(x² - 1)² = f(x) = (3x² - 2x + 3)/(x² - 1)² ;

donc : b - a = 1 et a + b = 3 ;

donc : b = a + 1 et a + a + 1 = 3 ;

donc : 2a = 2 et b = a + 1 ;

donc : a = 1 et b = 2 ;

donc : f(x) = 2/(x + 1)² + 1/(x - 1)² .

3.

∫f(x) dx = 2∫1/(x + 1)² dx + ∫ 1/(x - 1)² dx

= 2 * ((- 1)/(x + 1)) + (- 1)/(x - 1) + C avec C une constante réelle ;

= - 1/(x + 1) - 1/(x - 1) + C .

On peut attribuer à C les valeurs : 100 et 200 pour obtenir deux

primitives de f .

Exercice n° 4 .

1.

Les fonctions ayant pour expressions algébriques

x² - x + 1 ; 1/(x + 1) et x³/(x + 1) sont des fonctions définies

et continues sur [0 ; 1] ; alors les intégrales I ; J et K sont

définies .

2.

I = [tex]\int_0^1[/tex] (x² - x + 1)² dx = [x³/3 - x²/2 +x][tex]_0^1[/tex]

= 1/3 - 1/2 + 1 = 2/6 - 3/6 + 6/6 = 5/6 .

J = [tex]\int_0^1[/tex] 1/(x + 1) dx = [ln(x + 1)][tex]_0^1[/tex]

= ln(2) .

On a : x³/(x + 1) = (x³ + 1 - 1)/(x + 1) = (x³ + 1)/(x + 1) - 1/(x + 1)

= (x + 1)(x² -x + 1)/(x + 1) - 1/(x + 1)

= x² - x + 1 - 1/(x + 1) ;

donc : K = [tex]\int_0^1[/tex]  x³/(x + 1) dx

= [tex]\int_0^1[/tex]  (x² - x + 1 - 1/(x + 1) ) dx

= [tex]\int_0^1[/tex]  (x² - x + 1) dx - [tex]\int_0^1[/tex]  1/(x + 1) dx

= I - J = 5/6 - ln(2) .