Bonsoir, j’aurais besoin d’aide pour cet exercice svp: Une entreprise fabrique des canapés d'angle et vend au plus 50 par jour dans l'ensemble de ses magasins.
Question
Une entreprise fabrique des canapés d'angle et vend au plus 50 par jour dans l'ensemble de ses magasins.
On estime que les coûts de production journaliers de x canapés, en euros, sont donnés par: C(x)=x3-60x²+1500x+2000
où x est un entier de [0;50]
Chaque canapé est vendu 1200 euros.
Voici les questions :
1. On a réalisé la recherche suivante à l'aide du logiciel de calcul formel Xcas :
On trouve : developper ((x-20)^3) = x3-60x²+1200-8000
En utilisant le résultat du logiciel, déterminer les réels a et b tels que, pour tout x de [0;50] : C(x)= (x-20) Exposant 3+ax+b
2. Montrer que le bénéfice journalier B(x), en eurous, lorsque l'entreprise fabrique et vend x canapés par jour, est : B(x)=(10-x)(x²-50x-200).
3. a) Dresser le tableau de signes de B sur [0;50]
b)Combien de canapés au minimum l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre par jour pour réaliser des bénéfices ?
Merci!
1 Réponse
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1. Réponse alex4064
Réponse :
Fonctions et inéquations
Explications étape par étape
1) D'après ton énoncé, tu as C(x) = x^3 -60x²+1500x+2000
Le logiciel te dit que (x-20)^3 = x^3 - 60x² + 1200x - 8000 tu n'es pas loin de C(x). En comparant, tu vois que pour arriver à C(x), il faudrait rajouter 300x et 10000.
Donc C(x) = (x-20)^3 + 300x + 10 000 donc a = 300 et b=10 000
2) Tu sais que chaque canapé est vendu 1200€ donc x canapés rapportent 1200x €.
Or le bénéfice, c'est l'argent que tu obtiens à la fin de la journée, une fois que tu as tout remboursé: donc c'est-à-dire l'argent que tu as gagné grâce aux ventes moins l'argent que tu as perdu en fabriquant les objets vendus.
Or tu sais que pour x canapés, ça te rapporte 1200x par la vente mais ça te coûte C(x).
Donc B(x) = 1200x - C(x) = 1200x - (x^3 -60x²+1500x + 2000) = -x^3 - 60x² -300x - 2000
Ca ressemble pas vraiment à ceux qu'on te demande dans la consigne...
Tu prends le résultat et développes-le:
(10-x)(x²-50x-200) = 10x²-500x-2000 -x^3 +50x²+200x = -x^3 +60x²+300x-2000
Exactement pareil qu'au-dessus donc B(x) est bien égal à ce résultat.
3a) Pour le tableau de signes, il faut voir pour quelle valeur de x, on a un résultat positif et pour quelle valeur on a un résultat négatif.
B(x)=(10-x)(x²-50x-200)
(10-x) <0 si x>10
x²-50x-200<0 Là il faut que tu calcules le discriminant et les racines qui vont avec.
Tu places ensuite tout dans un tableau et tu n'as plu qu'à mettre les signes qui conviennent. Si tu n'es pas sure de l'emplacement des signes dans le tableau, essayes de remplacer x par une valeur.
Par exemple, si tu ne sais pas quoi mettre pour des x allant de 10 à 50, tu prends x=20 par exemple et tu calcules (cela te donnera le signe).
b) Tu veux faire des bénéfices donc tu veux que B(x) soit supérieur à 0. Soit tu résouds l'inéquation (x-10)(x²-50x-200)>0 soit tu regardes le tableau de signes. Là où tu mets des + et tes -, calcules pour chaque borne le résultat que cela te donnerait. Dès que le résultat est supérieur à 0, cela veut dire que tu as assez de canapés pour faire des bénéfices.
Voilà :) Si tu as d'autres questions, n'hésites pas ;)