Bonjour, je suis en 1 ère ES j'ai un DM de math à rendre pour Vendredi sur les dérivations Je ne comprend absolument rien à ce chapitre Merci de m'aider

Réponse :

1a) la largeur de la gouttière est L=14-2x

b) la gouttiére a la forme d'un parallélipipède droit donc son volume est donné par la formule V=longueur*largeur* hauteur

ce qui donne en fonction de x:  V(x)=600*(14-2x)*x=600x(14-2x)

c) x doit être compris entre 0 et 7cm, il n'y a rien à démontrer c'est de la logique

si x=0 le morceau de métal reste plat on ne fait que prolonger le toit de 14cm

si x=7 on a plié la feuille de métal en deux et la gouttière n'a plus de fond (L=0)

donc si on veut que la gouttière joue son rôle il faut que x soit >0 mais <7

2) V(x)=600x *(14-2x) c'est une fonction produit  de la forme u*v sa dérivée est donc u'*v+v'*u (cours sur les dérivées) avec:

u= 600x     u'=600  et v=14-2x      v'=-2

ce qui donne V'(x)=600(14-2x)-2(600x)=-2400x+8400

cette dérivée s'annule pour 2400x=8400 soit x=7/2=3,5cm

Tableau de signes de V'(x)  et de variations de  V(x) sur [0;7]

x     0                   3,5                       7

V'(x)..........+..............0............-...............

V(x).....croi............V(3,5).........décroi......0

Le volume de la gouttière est donc max pour x=3,5 cm , calcule V(3,5)=................

ex 1

l'aire est un rectangle de dimensions x et y donc y=aire/x=200/x

le prix représente celui des dalles sur x puis celui de la cloture sur x+2y (on n'en met pas contre le mur)

ce qui donne P(x)=15*x+12(x+2y) avec y=200/x

p(x)=15x+12x+4800/x=27x+4800/x

Etude de cette fonction sur [10;40]

dérivée P'(x)=27-4800/x²=(27x²-4800)/x²

comme x différent de 0 P'(x)=0 pour 27x²-4800=0 soit x²=4800/27=1600/9

solutions x=40/3 ou-40/3 on ne garde que la positive

Tableau  de signe et de variartion

x    10                                 40/3                         40

P'(x)...........-..............................0..............+....................

P(x)  p(10) ....décroi.........p(40/3).......croi.............p(40)

les dimensions de la zone sont x=40/3  et y=200/(40/3)=15

calcule le prix de revient de cette construction en fonction des données initiales  et vérifie que c'est égal à P(40/3)

Nota: fais les calculs avec x=40/3 et non la valeur décimale arrondie.  

Explications étape par étape